Čísla Fibonacciova
Italský matematik Fibonacci (1170 - 1230), pravým jménem Leonardo Pisano, se
proslavil svou knihou "Liber abacci", v níž shrnul všechny tehdejší znalosti o
aritmetice a algebře. Byla to v Evropě jedna z prvních knih, která učila
používat desítkové soustavy.
Tehdejší matematické znalosti objasňoval na mnoha úlohách, z nichž se úloha o
králících zapsala do historie matematiky tím, že dala podnět k vybudování tzv.
teorie Fibonacciových čísel. Uveďme tuto úlohu.
Kolik párů králíků se během jednoho roku narodí z jednoho páru, jestliže každý
pár dá měsíčně přírůstek jeden pár, jenž bude schopen plodit po dvou měsících,
když přitom žádný pár nezahyne?
Počet párů si můžeme znázornit do následujícího grafu.
Na začátku roku máme jeden pár králíků, za měsíc jich budou dva páry, za tři
měsíce pět, potom po každém měsíci bude počet párů po řadě roven 8, 13, 21,
34, 55, 89, 144, 233 a nakonec 377 párů. Každý měsíc je počet párů roven
součtu počtu párů v předminulém měsíci (ty nyní již zplodili nový pár) a počtu
párů v minulém měsíci (žádný pár nezahynul). Z původního páru se tedy během
jednoho roku králičí populace rozmnoží o 376 párů.
Řešení úlohy nás přivedlo k zajímavé rekurentní posloupnosti
Francouzský matematik Édouard Lucas (1842 - 1891) nazval posloupnosti
vytvořené podle takového rekurentního vzorce Fibonacciho posloupnostmi a
jejich členy nazval Fibonacciho čísla.
Dělíme-li některé z těchto čísel nejblíže vyšším číslem, tedy dalším členem z
řady Fibonacciho čísel, dostáváme řadu zlomků:
Fibonacciho zlomky mají velmi blízko k zlatému řezu. Čím dále postupujeme v
řadě těchto zlomků, tím více se blížíme k poměru zlatého řezu. Tento poměr se
s zvětšujícími členy posloupnosti blíží k převrácené hodnotě j, tedy 0,61803. Lze dokázat, že
S Fibonacciho čísly nepřímo souvisí zajímavý geometrický paradox. Je úplně
samozřejmé, že rozdělíme-li nějaký obrazec na několik dílů a potom tyto díly
složíme tak, že vytvoří nový obrazec od původního lišící se tvarem, ale obsah
musí zůstat zachován. Toto tvrzení se v geometrii považuje za jednu ze
základních zásad, na nichž stojí celá teorie měření ploch.
Na obrázku vidíte přeměnu čtverce v obdélník. Čtverec byl rozdělen podle
obrázku. Obsah čtverce je roven 64 plošných jednotek. Plocha obdélníku je však
rovna 65 jednotkám plochy. Za povšimnutí stojí, že úsečky omezující části
čtverce i obdélníku mají délky 3, 5, 8, 13. Jsou to členy Fibonacciho
posloupnosti.
Přiložíme-li trojúhelník A k lichoběžníku C a trojúhelník B k lichoběžníku D,
jak je to znázorněno na obrázku, nemohou nám čáry EFK a EHK splynout v jednu
uhlopříčku EK obdélníka, neboť čáry EFK a EHK nejsou přímky, nýbrž jsou mírně
lomené v bodech F a H.
Snadno to dokážeme. Nechť M je bod, v němž se protíná strana KL obdélníka s
prodlouženou stranou EF trojúhelníka EFN. Je-li EFK přímka, a nikoli čára
lomená, musí se bod M ztotožnit s bodem K. Ověříme si výpočtem, zda se tyto
body opravdu ztotožňují.
Z podobnosti trojúhelníka EFN a EML dostáváme: |ML| : |FN| = |EL| : |EN|, čili
|ML| : 3 = 13 : 8. Odtud |ML| = 4,875, zatímco |KL| = 5.
Jak vidíte, bod M se neztotožní s vrcholem K, a to znamená, že EFK a EHK jsou
čáry lomené.
Obdélníkový obrazec KLEG má skutečně obsah 65 polí, je v něm však
kosodélníková štěrbina EFKH, jejiž obsah se právě rovná obsahu jednoho pole.
Jak bychom museli rozdělit strany čtverce, abychom dostali plný obdélník a aby
tedy i obsahy souhlasily? Pomůže nám algebra. Obsah čtverce je
Obsah obdélníka je
Rozdíl DS mezi obsahem obdélníka a obsahem
čtverce je
Obsahy čtverce a obdélníka si budou rovny, jestliže
Dělíme rovnici druhou mocninou y, a dostaneme kvadratickou rovnici pro x/y:
Přihlédneme-li pouze ke kladnému řešení, dostaneme
Jedině při tomto iracionálním poměru částí x a y, na něž se rozpadnou strany
čtverce při jeho dělení na dva shodné lichoběžníky, lze čtverec dokonale
přeměnit v obdélník.
Mají-li čísla x a y racionální hodnotu, nemůže být rovno nule. Pro celé
hodnoty x a y je nejmenší možný rozdíl mezi obsahy DS=1. A právě tohoto rozdílu dosáhneme, pokud za x a y vezmeme dvojici
sousedních čísel Fibonacciho posloupnosti (např. x = 5, y = 3; x = 13, y = 8;
x = 21, y = 13), protože právě tato čísla vyhovují buď rovnici
nebo rovnici
Odečteme-li od druhé mocniny kteréhokoli členu Fibonacciho posloupnosti součin
členů předcházejícího a následujícího, dostaneme vždy +1, nebo -1. Obecně
platí
To byl i náš případ pro velikosti stran čtverce a obdélníka.
A ještě jedna úloha na Fibonacciho posloupnost, která se podobá úloze o
rozmnožování páru králíků. Ze starobylé kroniky: "...a lidé tratili se jako
kafr. Jak kopřivy v chládku ucházeli po tuctech, jen do rakví je skládat.
Nemoc se objeví u postiženého až druhý den, nazítří toho dne pacient umírá,
nakaziv v každém z obou dní další jednu osobu...".
1. Vypukla-li nemoc napřed u jednoho člověka, kolik by bylo za těchto podmínek
nemocných desátý den po vypuknutí choroby?
2. Kolik nemocných zemře koncem desátého dne?
3. Kolik osob zemřelo podle podmínek úlohy během těchto deseti dní?
K vyřešení můžeme opět použít grafu, který však je pro desátý den příliš
složitý, nebo Fibonacciho posloupnosti.
1. Desátý den je 55 nemocných.
2. Koncem desátého dne zemře 13 lidí.
3. Celkový počet úmrtí je 33.
Obecně pro součet prvních n členů Fibonacciho posloupnosti platí
Podle pravidla o stanovení členů posloupnosti platí:
Sečteme-li tyto rovnice, dostaneme:
Fibonacciho posloupnosti se kromě matematiky používají v teorii umění a byly
zjištěny v přírodě. S těmito případy se ještě seznámíme v dalších kapitolách.
