Co vlastně rozumíme slovy zlatý řez úsečky?

Rozdělíme-li úsečku AB délky a bodem C na dvě části x a (a-x) tak, aby se poměr délek větší části x k menší části (a-x) rovnal poměru délky úsečky a k větší části x, tedy aby platilo

Zlatý poměr můžeme vyjádřit dvěma způsoby:

Geometricky můžeme zlatý řez sestrojit různými způsoby podle toho, zda chceme úsečku AB rozdělit v poměru zlatého řezu nebo známe větší resp. menší díl úsečky AB a chceme určit úsečku AB.

Na obrázku je znázorněna úsečka AB. Na kolmici v bodě B odměříme polovinu délky úsečky AB, sestrojíme úsečku AM, okolo bodu M opíšeme kružnici o poloměru MB, okolo bodu A opíšeme kružnici o poloměru AN a pak je bod C bodem zlatého řezu úsečky AB. Tato konstrukce pochází od Heróna (1.st.př.n.l.).

Lze ji odvodit z vyjádření zlatého poměru, pro nějž platí

Nyní si uvedeme konstrukci celkové úsečky AB, pokud známe její větší díl AC. Nad úsečkou AC sestrojíme čtverec a opíšeme kružnici se středem F o poloměru FD. Průsečík polopřímky AC a kružnice je bod B.

Jestliže známe menší díl CB, úsečku AB získáme takto. Bod G určíme podobnou konstrukcí jako v předchozím případě, kde jsme hledali bod B. Pomocí kružnice o poloměru CG, zjistíme bod A.

Ze zkušenosti víme, že vhodným překládáním a skládáním papíru dostaneme různé hračky. Těchto papírových skládanek bylo využito k řešení některých planimetrických úloh, mezi nimi i rozdělení úsečky zlatým řezem. Papír tvaru čtverce přeložíme na půl a rozložíme.

Přehyb jdoucí vrcholem B a půlícím bodem D jedné strany má délku . Potom přehneme DC na přehyb BD, čímž získáme větší část úsečky rozdělené zlatým řezem o velikosti  Stranu BA přehneme na BD, kde nám ji bod C rozdělí na hledané části.

Na obrázku je nakreslen lotrinský kříž, skládající se z patnácti jednotkových čtverců.

Metoda rozdělení úsečky zlatým řezem naznačuje euklidovskou konstrukci úhlu 36°. Narýsujeme oblouky se středy v bodech B a C s poloměrem AC. Jejich průnik označíme F a spojíme ho s body A, B, C. Potom úhel BAF=36°, úhel CBF=72° a úhel ACF=108°. Přímka CF je osou úhlu AFB.

Počet pravidelných mnohoúhelníků, které můžeme sestrojit v rovině, je neomezený. V trojrozměrném prostoru je počet pravidelných konvexních mnohostěnů pět.

Pythagorovci, zajímající se o takové záležitosti, považovali dvanáctistěn za hodný neobyčejné úcty a pozornosti. Za znak svého bratrstva si vybrali pěticípou hvězdu, tvořenou úhlopříčkami pravidelného pětiúhelníku, který tvoří stěny již zmíněného dvanáctistěnu. Pětiúhelník je jediný mnohoúhelník, jenž má týž počet úhlopříček jako stran, je nejnižším mnohoúhelníkem, jehož strany i úhlopříčky lze nakreslit jediným tahem.

S pětiúhelníkem se setkáváme také vždy, když si zavazujeme tkaničky. Bylo by to vidět, kdybychom měli ploché tkaničky a uzel bychom zatáhli až do konce. Sledujte uvázání uzlu na proužku papíru. Sestrojíme přesný pětiúhelník, na jehož průsvitu vidíme pěticípou hvězdu.

A jak sestrojíme pravidelný pětiúhelník pravítkem a kružítkem? Pokud známe poloměr kružnice opsané, můžeme využít zlatého řezu.

V kružnici se středem S zvolíme průměr AC a průměr BD na něj kolmý, bodem O rozpůlíme AS a opíšeme z něj část kružnice o poloměru OD, která nám protne úsečku AC v bodě E. Vzdálenost DE je hledaná velikost strany pravidelného pětiúhelníku. A nejenom to. Úsečka SE je stranou pravidelného desetiúhelníku.

Již Eudoxos (4.st.př.n.l.) znal, že platí věta:

Pětiúhelník je bohatý zdroj zlatých poměrů. Snadno si ověříme následující vlastnosti.

1. Úhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku se protínají v poměru zlatého řezu. BF je větší díl úhlopříčky dělené zlatým řezem. Můžeme tedy sestrojit stranu pravidelného pětiúhelníku, je-li dána úhlopříčka.

Podle věty o obvodovém úhlu dělí úhlopříčky každý vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníka na tři shodné úhly. Velikost každého z nich označme a = 36°. Z konstrukce je patrno Pětiúhelník KLMNO je pravidelný. Označme délky jeho stran x. Je-li délka strany původního pětiúhelníka ABCDE rovna jedné, platí: Úpravou a s použitím vlastnosti  dostaneme 4. Délky úseček KO, AK, AO, AD jsou členy geometrické posloupnosti: Součet dvou po sobě jdoucích členů se rovná následujícímu, např.

Již jsme hovořili o souvislosti pravidelného desetiúhelníka a pětiúhelníka. Můžeme tedy předpokládat, že i zde nalezneme zlatý poměr.

Zkusme určit velikost strany  pravidelného desetiúhelníka vepsaného do kružnice o jednotkovém poloměru.

Na obrázku vidíte rovnoramenný trojúhelník ABS. S takovým trojúhelníkem jsme se již setkali a víme, že platí

Jak jsme již uvedli v Euklidových "Základech" se objevila úloha na zlatý poměr. Máme rozdělit danou úsečku na dvě nestejné části tak, aby čtverec sestrojený nad větší částí měl stejný obsah jako pravoúhelník, jehož jedna strana má délku menší části a druhá má délku celé úsečky.

Zvolme délku úsečky rovnu a, obsah čtverce

Potvrzení tohoto rozdělení nalezneme i v následujícím obrázku, kde jsme oba obrazce sestrojili.

Nyní si zvolíme obdélník, jehož strany jsou v poměru j, a nazveme tento obdélník zlatým. Zlatý obdélník má řadu zajímavých vlastností. Můžeme ho vepsat do čtverce tak, že jeho všechny vrcholy dělí strany čtverce ve zlatém poměru.

Oddělíme-li od zlatého obdélníka ABCD čtverec AEFD, bude zbývající část opět zlatým obdélníkem. Jestliže od obdélníka EBCF oddělíme čtverec GHCF, bude zbytek EBHG opět zlatým obdélníkem atd. Koeficient podobnosti zlatých obdélníků je roven 1/j. Platí

Graf zlaté spirály souvisí s otáčejícím se zlatým obdélníkem. Spirálu s těmito vlastnostmi nazýváme logaritmická spirála.

Úhel mezi tečnou této křivky v jejím libovolném bodě a přímkou spojující tento bod se středem spirály je stálý. Střed spirály O je průsečík úhlopříček BD a CE, které jsou k sobě kolmé. AH a FJ se protínají v bodě O a jsou osami úhlů mezi BD a CE.

Rovnoramenný trojúhelník, v němž je poměr délky ramene a základny roven j, nazveme zlatým trojúhelníkem.

V zlatém trojúhelníku jsou úhly při základně rovny 72° a úhel při hlavním vrcholu 36°.
Do daného trojúhelníku ABC vepisujeme největší možné rovnoramenné trojúhelníky, které mají rameno rovno základně předcházejícího trojúhelníku. Opět platí, že zbude zlatý trojúhelník. Platí a |AB|=|CD|, po dosazení platí a podle definice zlatého řezu

Logaritmickou spirálu můžeme sestrojit i pomocí zlatých trojúhelníků. Jejich vrcholy leží na spirále, která má střed v průsečíku těžnic  Středy jejich oskulačních kružnic leží v bodech D, E, F...

Zlatým trojúhelníkem zakončíme naše hledání zlatého řezu v rovině a podíváme se do trojrozměrného prostoru.