Pravidelný mnohoúhelník má všechny strany stejně dlouhé a všechny úhly stejně velké. Lze mu opsat i vepsat kružnici. Obdobou pravidelných mnohoúhelníků v rovině jsou v prostoru pravidelné mnohostěny. Pravidelný mnohostěn je takový mnohostěn, jehož všechny stěny jsou shodné pravidelné n-úhelníky, a v každém jeho vrcholu se stýká stejný počet m hran.

Zajímavé je, že těchto pět pravidelných mnohostěnů znali již starořečtí matematici počátkem 4.století př.n.l. Řecký filozof Platón (427-347 př.n.l.) jich dokonce používal k objasňování svého učení o podstatě hmotného světa tím, že krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů, jimiž byly podle jeho učení země, vzduch, oheň a voda, a dvanáctistěn za představitele jsoucna neboli všeho, co existuje.

Podobně bychom mohli rozvést i učení známého hvězdáře Johanna Keplera (1571-1630), podle něhož se tehdy šest známých planet pohybovalo okolo Slunce po kulových plochách vepsaných nebo opsaných pravidelným mnohostěnům. Například Země obíhá po kulové ploše procházející středy stěn pravidelného dvanáctistěnu (vepsaná kulová plocha) a Mars po kulové ploše procházející vrcholy pravidelného dvanáctistěnu (opsaná kulová plocha). Tuto Keplerovu teorii rozbil fakt, že vzájemná vzdálenost kulových ploch neodpovídala skutečným vzdálenostem planet od Slunce. Kromě toho známe dnes další tři planety: Uran, Neptun a Pluto.

Jak je možné, že pravidelných mnohostěnů je právě pět. Není možné, že jsme tvary některých mnohostěnů zatím neobjevili? Dokažme si, že tomu tak není.

Pro pravidelné mnohostěny můžeme odvodit vztah

Nejjednodušší mnohostěn má roh tvořený třemi rovnostrannými trojúhelníky, další jich mají čtyři nebo pět. Šest rovnostranných trojúhelníků s jedním společným vrcholem poskládáme do roviny, takže nemohou tvořit povrch mnohostěnu. Stejné to bude, když spojíme čtyři čtverce. Podobně tři pravidelné pětiúhelníky v jednom vrcholu jsou maximum. Šestiúhelníky a mnohoúhelníky s více než šesti stranami jsou také vyloučeny.

V 18.století formuloval Leonard Euler (1707-1783) vztah pro každý konvexní mnohostěn:

Jistě jste si v tabulce všimli této symetrie:

O krychli a osmistěnu říkáme, že jsou duální mnohostěny. Všimněte si, že středy stěn krychle jsou vrcholy pravidelného osmistěnu a naopak středy stěn pravidelného osmistěnu jsou vrcholy krychle. Podobně jsou navzájem duální i pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Pravidelný čtyřstěn je duální sám se sebou.

Zkusme uvažovat, proč byl právě dvanáctistěn oblíbenou hračkou etruských dětí před 2500 lety, jak ukázaly vykopávky v Monte Loffa u Padovy. Pythagorejcům mohl být znám pravidelný osmistěn a dvanáctistěn - dvanáctistěn proto, že v tomto tvaru krystalizují pyrity vyskytující se v Itálii a že s modely takových tvarů jako s ornamenty nebo s magickými symboly se setkáváme právě u Etrusků.

Krychle a čtyřstěn také slouží lidem při jejich budovatelském úsilí i hráčských vášních. Dosvědčují to dětské kostky i konstruktivistická architektura. Proč má hrací kostka z Ptolemaiovy doby vystavená v egyptologických sbírkách Britského muzea právě tvar dvacetistěnu? Proč se od dávných dob až po naše časy užívají svítilny ve tvaru pravidelného osmistěnu, i když jejich vnitřek prodělal vývoj od svíčky k výbojce?

Pěti pravidelným mnohostěnům se ve své knize "O božském poměru" věnuje i jeden z nejvýznamnějších matematiků své doby Luca Pacioli (1445-1514). Kniha nazvaná podle "zlatého řezu" byla podle Vitruvia věnována architektuře, pěti Platonovým tělesům a také proporcím lidského těla. Vyobrazení mnohostěnů na 59 tabulkách pro svého přítele zhotovil Leonardo da Vinci, který si s oblibou vyráběl dřevěné kostry mnohostěnů.

Co božského našel na pěti jednoduchých tělesech Luca Pacioli, který žil více než dva tisíce let po Platonovi? Je to jen ozvěna Platonova okřídleného rčení "Bůh činí vždy geometricky"? Nikoliv, mnich Luca Pacioli myslil realističtěji: Bůh se jako geometr neprojevuje vždy, ale jen někdy. Zejména v případě tzv. zlatého řezu. Pacioli zjistil, že je třináct projevů této božské proporce, a hledal je v nejdokonalejších matematických výtvorech, pěti platonovských tělesech. Zhotovil je ze skleněných destiček a věnoval různým velmožům do jejich sbírek. Kapitola "O dvanácté, téměř nadpřirozené vlastnosti" pojednává o pravidelném dvacetistěnu.